10N

Simulare Evaluarea Națională Matematică 2024

6 februarie 2024
Subiect
Barem

Subiectul I

1.
5

Rezultatul calculului
52−2⋅(25−5)\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {52 - 2 \cdot (25 - 5)}
este:

A
12\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {12}
B
92\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {92}
C
100\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {100}
D
1000\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {1000}
2.
5

Dacă
x−25=y3\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {\frac{x - 2}{5} = \frac{y}{3}}
, atunci rezultatul calculului
3x−5y\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {3x - 5y}
este:

A
0\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {0}
B
2\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {2}
C
5\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {5}
D
6\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {6}
3.
5

Se consideră mulțimile
A={1, 2, 3, 4, 5, 6}\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {A = \{1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }6\}}
și
B={0, 2, 4, 6, 8}\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {B = \{0,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }8\}}
. Intersecția mulțimilor
A\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {A}
și
B\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {B}
este mulțimea:

A
{0, 2, 4, 6, 8}
B
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
C
{2, 4, 6}
D
{0, 2, 4, 6}
4.
5

Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației
2x+2≥4\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {2x + 2 \geq 4}
este:

A
(−∞, −1]\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {(-\infty,\text{ }-1]}
B
(−∞, 1]\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {(-\infty,\text{ }1]}
C
[−1, +∞)\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {[-1,\text{ }+\infty)}
D
[1, +∞)\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {[1,\text{ }+\infty)}
5.
5

Patru elevi, Ana, Ioan, Dana și Vlad determină numărul
a=∣2−43∣+2(12+1)\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {a = \big |2 - 4\sqrt{3} \big | + 2(\sqrt{12} + 1)}
. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
AnaIoanDanaVlad 044383\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Ana} & \text{Ioan} & \text{Dana} & \text{Vlad} \\ \hline \ 0 & 4 & 4\sqrt{3} & 8\sqrt{3} \\ \hline \end{array}}

Conform informațiilor din tabel, elevul care a determinat corect numărul
a\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {a}
este:

A
Ana
B
Ioan
C
Dana
D
Vlad
6.
5

În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii unei clase, la un test de matematică.
Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, jumătate din numărul elevilor acestei clase a obținut la testul de matematică cel puțin nota 8.” este:

A
adevărată
B
falsă

Subiectul al II-lea

1.
5

În figura alăturată punctele
A\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {A}
,
B\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {B}
,
C\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {C}
și
D\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {D}
sunt coliniare, în această ordine, astfel încât
BC=2⋅AB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BC = 2 \cdot AB}
,
CD=2⋅BC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {CD = 2 \cdot BC}
și
AB=2\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AB = 2}
cm. Punctul
M\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {M}
este mijlocul segmentului
AB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AB}
și punctul
N\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {N}
este mijlocul segmentului
CD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {CD}
. Lungimea segmentului
MN\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {MN}
este egală cu:

A
4\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {4}
cm
B
5\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {5}
cm
C
7\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {7}
cm
D
9\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {9}
cm
2.
5

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente complementare
AOB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AOB}
și
BOC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BOC}
. Semidreapta
OM\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {OM}
este bisectoarea unghiului
AOB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AOB}
și
∠BOC=3⋅∠AOM\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} { \angle BOC = 3 \cdot\angle AOM}
. Măsura unghiului
AOB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AOB}
este egală cu:

A
18∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {18^\circ}
B
36∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {36^\circ}
C
40∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {40^\circ}
D
54∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {54^\circ}
3.
5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul
ABC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ABC}
cu
AB=10\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AB = 10}
cm și
AC=12\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AC = 12}
cm. Semidreapta
BI\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BI}
este bisectoarea unghiului
ABC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ABC}
și semidreapta
CI\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {CI}
este bisectoarea unghiului
ACB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ACB}
. Paralela prin punctul
I\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {I}
la dreapta
BC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BC}
intersectează dreptele
AB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AB}
și
AC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AC}
în punctele
D\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {D}
, respectiv
E\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {E}
. Perimetrul triunghiului
ADE\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ADE}
este egal cu:

A
11\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {11}
cm
B
20\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {20}
cm
C
22\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {22}
cm
D
24\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {24}
cm
4.
5

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul
ABCD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ABCD}
, cu
AB=32\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AB = 3\sqrt{2}}
cm și triunghiul
BEC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BEC}
dreptunghic în
E\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {E}
. Punctul
F\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {F}
este mijlocul segmentului
BC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BC}
și
EF=4\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {EF = 4}
cm. Aria trapezului
AFCD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AFCD}
este egală cu:

A
62\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {6\sqrt{2}}
cm
2\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {^2}
B
122\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {12\sqrt{2}}
cm
2\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {^2}
C
182\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {18\sqrt{2}}
cm
2\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {^2}
D
242\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {24\sqrt{2}}
cm
2\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {^2}
5.
5

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul
O\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {O}
și raza egală cu
3\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {3}
cm. Punctul
P\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {P}
este situat la o distanță de
6\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {6}
cm de centrul cercului. Dreptele
PA\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {PA}
și
PB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {PB}
sunt tangente la cerc în punctele
A\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {A}
și
B\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {B}
. Măsura arcului mic
AB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AB}
este egală cu:

A
60∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {60^\circ}
B
90∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {90^\circ}
C
120∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {120^\circ}
D
150∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {150^\circ}
6.
5

În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată
VABCD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {VABCD}
cu baza
ABCD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ABCD}
,
VA=AB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {VA = AB}
și
O\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {O}
este punctul de intersecție a dreptelor
AC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AC}
și
BD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BD}
. Dacă punctul
M\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {M}
este mijlocul segmentului
VB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {VB}
, atunci măsura unghiului dreptelor
OM\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {OM}
și
CD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {CD}
este egală cu:

A
0∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {0^\circ}
B
30∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {30^\circ}
C
45∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {45^\circ}
D
60∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {60^\circ}

Subiectul al III-lea

1.
5

Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată 5 cărți.

a.
2
Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 53 de cărți. Justifică răspunsul dat.
b.
3
Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.
2.
5

Se consideră expresia
E(x)=(2x+3)2+(x−2)(x+2)−3(1−x)+2\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {E(x) = (2x + 3)^2 + (x - 2)(x + 2) - 3(1 - x) + 2}
, unde
x\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {x}
este număr real.

a.
2
Arată că
E(0)=4\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {E(0) = 4}
.
b.
3
Arată că numărul
N=E(n)+6\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {N = E(n) + 6}
este divizibil cu 10, pentru orice număr natural
n\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {n}
.
3.
5

Se consideră numărul natural
abc‾\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {\overline{abc}}
cu
a, b, c\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {a,\text{ }b,\text{ }c}
cifre nenule, unde
a=5⋅(12+13+16)−23:13\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {a = 5 \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right) - \frac{2}{3} : \frac {1}{3}}
și
b=(3⋅32⋅33⋅34):94−254:57\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {b = (3 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4) : 9^4 - 25^4 : 5^7}
.

a.
2
Arată că
a=3\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {a = 3}
.
b.
3
Determină numărul
abc‾\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {\overline{abc}}
, știind că numerele
ac‾\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {\overline{ac}}
și
cb‾\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {\overline{cb}}
sunt direct proporționale cu numerele 4 și 3.
4.
5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic
ABC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ABC}
, cu
∠A=90∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {\angle A = 90^\circ}
și
∠B=40∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {\angle B = 40^\circ}
. Semidreapta
BE\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BE}
este bisectoarea unghiului
ABC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ABC}
, punctul
E\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {E}
aparține segmentului
AC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AC}
. Perpendiculara din punctul
A\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {A}
pe
BC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BC}
intersectează dreapta
BC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BC}
în punctul
D\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {D}
, iar perpendiculara din punctul
E\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {E}
pe
BC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BC}
intersectează dreapta
BC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BC}
în punctul
F\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {F}
. Dreptele
BE\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BE}
și
AD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AD}
se intersectează în punctul
M\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {M}
.

a.
2
Arată că măsura unghiului
EMA\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {EMA}
este egală cu
70∘\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {70^\circ}
.
b.
3
Arată că patrulaterul
AMFE\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AMFE}
este romb.
5.
5

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul
ABCD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ABCD}
cu
AB=15\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AB = 15}
cm. Punctul
P\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {P}
aparține laturii
AB\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AB}
, astfel încât
PB=2AP\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {PB = 2AP}
și
O\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {O}
este punctul de intersecție a dreptelor
AC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AC}
și
BD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {BD}
.

a.
2
Arată că lungimea segmentului
AP\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AP}
este egală cu 5 cm.
b.
3
Determină raportul dintre aria triunghiului
ANP\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ANP}
și aria triunghiului
DNO\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {DNO}
, unde
N\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {N}
este punctul de intersecție a dreptelor
AC\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AC}
și
DP\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {DP}
.
6.
5

În figura alăturată este reprezentat cubul
ABCDA′B′C′D′\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {ABCD A'B'C'D'}
. Punctele
M\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {M}
,
N\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {N}
,
P\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {P}
și
Q\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {Q}
sunt mijloacele segmentelor
AA′\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AA'}
,
A′D′\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {A'D'}
,
DD′\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {DD'}
, respectiv
AD\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {AD}
.

a.
2
Arată că
MN=PQ\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {MN = PQ}
.
b.
3
Știind că punctul
T\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {T}
este mijlocul segmentului
PQ\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {PQ}
, demonstrează că dreapta
CT\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {CT}
este paralelă cu planul
(MNB)\def\arraystretch{1.5} \def,{{\char`,}} \def\Div{{\space\raisebox{-0.1em}{$\vdots$}\space}} {(MNB)}
.
© 2024 ZeceLaEN.ro